Taller de capacitación

A cargo del Equipo de Comisión Curricular

Mg. Sandra Segura
Prof. Rosario Sierra
Prof. Darío Reynoso
Prof. Nora Moreno
Prof. Stella Cañas

Evaluación educativa 2005
"Evaluar entre todos para mejorar entre todos"

"....los profesores siempre están interesados por los informes en los que se exponen los errores y los comportamientos de los alumnos, pero queda mucho por hacer para comprender las causas de esos errores y no limitarse a constatarlos."
(Brousseau, 1990)

El error: ¿Cómo interpretamos sus causas?¿Cómo lo remediamos?

Para dar respuestas al primer interrogante es necesario, ante todo, precisar que el análisis que hacemos de un error está en función de nuestra concepción del aprendizaje, es decir de las repuestas que damos a la pregunta: "¿Cómo aprenden los alumnos?"

En consecuencia, el ¿Cómo lo remediamos?, está en función de nuestra concepción de la enseñanza, es decir, de las respuestas que damos a la pregunta: ¿Qué debe caracterizar las actividades que propongo a los alumnos para facilitar el aprendizaje?

Es así que en un posicionamiento "tradicional" al respecto, vemos que la concepción de aprendizaje está basada en una visión de alumno receptor: escucha, observa, imita y reproduce el "modelo enseñado". Así pues, hay que escuchar bien, aprender bien, memorizar bien y entrenarse para poder registrar, luego reproducir y utilizar los conocimientos. En esta perspectiva, el análisis del error se hace en términos de falta, de anomalías. El docente se limita a hacer la constatación de que el alumno no ha adquirido el sentido del saber, no lo sabe utilizar. La "responsabilidad" del error es atribuida al alumno por no haber escuchado, no haber aprendido. En esta concepción, la respuesta al segundo interrogante se limita a alentar al alumno a que preste más atención, a repetir las "explicaciones", proponer más "ejercicios" y "problemas-tipo".

Si nuestro posicionamiento está influido por el conductismo, para que el alumno aprenda, "es necesario" disponer de etapas intermedias, yendo de lo simple a lo complejo, recortando las competencias globales en competencias elementales. Desde esta perspectiva se distinguen distintos tipos de errores:

    Dominio de los conocimientos (saber y saber-hacer).


    Disponibilidad de los conocimientos (capacidad para aplicarlos en el momento oportuno).
    Capacidades lógicas y de razonamiento (tratamiento de la información a partir de un problema, articulación de saberes, etc.)

Esta distinción, nos permite hacer una descripción más fina de los errores:

    un alumno demuestra dominio del saber-hacer (completa una tabla de proporcionalidad), pero no reconoce la necesidad de aplicarlo en la resolución de un problema (razonamiento);

    otro alumno, demuestra dominio del saber (enuncia las propiedades de la mediatriz), pero carece de disponibilidad (no tiene la capacidad de aplicar ese saber para probar que un triángulo es isósceles).

En este sentido, se lleva a cabo una intervención diferenciada: así para los errores de saber, se pedirá que el alumno vuelva a aprender sus lecciones; para los errores de saber-hacer, se le propondrán ejercicios de entrenamiento graduales; para los errores de disponibilidad, se multiplicará el número de los problemas-tipo; para los errores de lógica o razonamiento, se "intentará" explicar nuevamente los procedimientos, o "mostrarlos aplicados" en situaciones más simples, atendiendo a la "madurez" del alumno.

Vemos que en las dos concepciones descritas hasta ahora, los errores son considerados como accidentes que sería posible evitar si el alumno escuchara mejor, se entrenara más, si mejorara su razonamiento, o bien, si el docente mejorara sus explicaciones, dispusiera de ejercicios mejor graduados, etc.

Ahora bien. Si situamos nuestras prácticas docentes dentro de la concepción constructivista de los saberes, el error es la expresión de una forma de conocimiento. Parafraseando a Brousseau, "el error no es sólo el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar como se cree en las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tenía su interés, su éxito, pero que, ahora, se revela como erróneo, o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son erráticos ni imprevisibles; están constituidos como obstáculos. Tanto en el funcionamiento del maestro como en el del alumno, el error es constitutivo del sentido del conocimiento adquirido".

Dicho de otro modo, un error manifiesta la distancia al saber o la presencia de un saber diferente y no la ausencia de saber. Y, así como una respuesta correcta no da garantía absoluta acerca de la disponibilidad de un saber por parte del alumno, tampoco el error es prueba absoluta de ausencia de saber.

Frente a esta concepción, es necesario hacer un análisis profundo sobre diversas producciones del alumno, que nos permita: plantear hipótesis sobre los procesos que dieron origen al error; reflexionar acerca de la frecuencia con que aparece el error y la coherencia entre los errores detectados.

Una vez concluido este análisis, nos resta pensar en dispositivos que pongan en juego prácticas que impliquen nuevas "mediaciones entre el alumno y el saber". Al respecto, Charnay define como remediación todo acto de enseñanza cuyo objetivo es permitir que el alumno se apropie de los conocimientos (saber, saber-hacer,...) después que una primera enseñanza no le ha permitido hacerlo en la forma esperada.

Pero antes de elaborar dispositivos de remediación, cabe preguntarnos:

  • ¿El estudio de nuevas nociones ayudará al alumno a corregir los errores?. En caso de respuesta afirmativa, no es necesario pensar en remediarlos.
  • ¿Los errores detectados fueron cometidos por una cantidad considerable de alumnos?¿Dificultan la adquisición de nuevos conocimientos?. De ser así, se hace necesario pensar en plantear dispositivos de remediación.

Tengamos en cuenta que se habla de "dispositivos" de remediación más que de situaciones porque no son algunas actividades aisladas las que les permitirán al alumno remediar sus errores sino más bien un encadenamiento de situaciones. Por lo tanto, la elaboración de un dispositivo de remediación supone, además de la elección de las actividades, la gestión de dichas actividades. Todo ello depende del análisis precedente y, como dijimos en un comienzo, de la concepción de enseñanza que posee el docente. De ello se desprende que la gestión de las actividades de remediación será muy diversa. Puede responder, por ejemplo, a los siguientes interrogantes:

  • ¿Dónde serán desarrolladas las actividades de remediación? (en el aula, fuera del aula, en la escuela, en la casa)
  • ¿Para quién se elaboran? (para todos los alumnos, para un grupo de alumnos)
  • ¿En qué tiempo se llevarán a cabo? (actividades puntuales propuestas en un determinado momento, o bien regularmente a lo largo del año).
  • ¿Cómo? (todos los alumnos tienen las mismas actividades; las actividades son personalizadas; los alumnos trabajan en forma individual, en grupos homogéneos o en grupos heterogéneos).

Por último, se realiza la evaluación del dispositivo de remediación. Aquí el docente trata de saber si el alumno ha modificado sus procedimientos y sus respuestas, es decir, si el dispositivo es operacional. De ser así, interviene para ayudar al alumno en la toma de conciencia de los progresos realizados. En caso contrario, deberemos retomar el análisis de los errores y proponer concebir nuevas situaciones de remediación.

1 Sistema de Numeración

Técnicas y conceptos de los órdenes de unidades

  • ¿Por qué los niños tienen dificultades para leer y escribir números cada vez mayores?
  • ¿Qué tipos de errores cometen los niños al leer y escribir números de varias cifras, y por qué?
  • ¿Cuáles son los conceptos esenciales de los órdenes de unidades que deben dominar los niños para comprender nuestro sistema de numeración?
  • ¿Cómo pueden aprovechar los docentes los conocimientos que ya poseen los niños para fomentar un aprendizaje seguro de técnicas y conceptos para números de varias cifras?

Un número de varias cifras, es una expresión numérica que codifica relaciones entre las cifras aisladas para expresar un número. Por lo tanto los números de varias cifras deben leerse como un todo para captar su significado.

En la apropiación del sistema de numeración es necesario que los alumnos utilicen reglas de canje y agrupamientos de a diez para organizar cantidades importantes, produzcan representaciones escritas de cantidades y trabajen la significación de las cifras en función de su posición.

En actividades como las que se proponen, se trata de favorecer, de provocar que los niños se den cuenta que la escritura en cifras de un número da información sobre el número de paquetes, cajas, etc. de 10, 100,.. que contiene.

Los alumnos deben también comenzar a comprender las propiedades de orden, discretitud, densidad de cada uno de los sistemas numéricos abordados. Es importante que aprendan a comparar, ordenar, aproximar, encuadrar, en los distintos conjuntos numéricos.

La comprensión del sistema de numeración decimal brinda al alumno una herramienta universal de comunicación que le permite representar en un mismo código todos los números reales.

Es usual decir que en EGB 2 se trabajará con números "grandes" (es decir con muchas cifras), por lo tanto es necesario conocer sus designaciones orales y escritas, en cifras y letras, sus significados, sus formas de representación, sus aplicaciones, etc.

Errores

Posibles causas

Actividades de remediación

El reconocimiento de la cantidad de decenas, centenas,… que hay en un número.

Año 1992

En el Nº 7000 hay en total:

  1. 70 decenas
  2. 700 decenas
  3. 7000 decenas
  4. 0 decenas

Respuestas correctas: 54,90 %

-El comienzo de la identificación de unidades y decenas está comprobado que se realiza en 2° año de EGB y se produce a través de agrupamientos y canjes.

-Es necesario trabajar con estas actividades tantas veces como sea necesario.

-No es recomendable usar muchos códigos al mismo tiempo, como colores, tamaños y formas.

-El material concreto o figurativo ayudan al principio.

- Las situaciones deben ser significativas, e ir introduciendo variables didácticas, con el objeto de "forzar a los niños a usar los agrupamientos y canjes.

-Dado que nuestro sistema de numeración es decimal o de base diez pues utilizamos diez símbolos distintos llamados dígitos o cifras:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 y agrupamos las unidades de diez en diez, la apropiación de estas propiedades resulta compleja.

-Este error generalmente es causado por la secuencia de actividades propuestas

Ejemplo:

 

Aquí el niño confunde el lugar que ocupa cada cifra del número con el valor de posición de cada cifra.

En 2° Año de EGB se puede comenzar con actividades como:

- "El cajero", donde se usan sólo billetes de 1, 10 y 100.

-Juegos como los de embaldosar, utilizando baldosas sueltas y paquetes de 10.

- Distribuidores de mercadería con elementos sueltos, paquetes de 10 y cajas de 100

En 6° y 7° años :

-La descomposición polinómica, por ejemplo:

5.423= 5000+400+20 +3

3 unidades sueltas (no alcanzan para formar una decena)

en 20 unidades hay 2 decenas

en 400 unidades hay 40 decenas

en 400 unidades hay 4 centenas

en 5000 unid. hay 500 decenas

en 5000 unid. hay 50 centenas

en 5000 unid. hay 5 u. de mil

Todo esto puede realizarse a partir de que los niños hayan trabajado con agrupamientos y canjes, en los años anteriores.

- El trabajo con situaciones problema donde se incluya la lectura, en palabras, y la comparación de números son una buena estrategia de remediación, ejemplo:

"Los precios de los productos de una casa de electrodomésticos se muestran en la siguiente tabla".

Televisor…………$1.249

Minicomponente…$1.399

Bicicleta…………..$2.536

Heladera…………$2.563

Computadora……$1.379

-¿cuál es el producto más barato? ¿Por qué?

-¿cuál es el más caro?

-¿con cuántos billetes de $100 puedes pagar la computadora?¿Necesitas otros? ¿cuáles? ¿por qué?

- ¿cuántos billetes de $10 necesitas para pagar la heladera?

-Situaciones problemáticas del tipo:

"En la fábrica "Dulce de Leche", se envasan alfajores del siguiente modo:

10 alfajores …….. 1 paquete

10 paquetes……..1 caja

10 cajas………….1 pack

-En la sucursal N° 2 pidieron 2.840 alfajores, en la menor cantidad de envases posibles.

-¿cuántos pack, cajas y paquetes deberán enviar?

-Desde la sucursal N°1 solicitaron

4 packs, 2 cajas y 9 paquetes

-¿cuántos alfajores deberán enviar?

-Para la sucursal N° 3 se ha despachado:

10 packs, 20 cajas y 40 paquetes

-¿cuántos alfajores serán?

-Dado que el SIMELA tiene la misma estructura que el sistema de numeración, es importante trabajar simultáneamente con la equivalencia entre unidades de longitud, capacidad y masa.

Ejemplo:

1m está fraccionado en 10, 100 unidades, por lo tanto.

1m equivale a 10 dm

1 m equivale a 100 cm

1dm equivale a 10 cm

…………………………………..

Año 1994

En el Nº 8.679,4 hay en total:

a) 86 centenas

b) 8.676,4 centenas

c) 679 centenas

d) 6 centenas

Respuestas correctas: 45,87%

Año 1995
¿Cuál de las siguientes opciones es igual Al Nº 17.240?
a)1.724 decenas
b)1.724 centenas
c)172 decenas y 40 unidades
d)17 centenas y 24 decenas
Respuestas correctas: 46,18%

Año 1996

En el Nº 2.278 hay en total:

a) 2 centenas

b) 22 centenas

c)278 centenas

d)227 centenas

Respuestas correctas: 37,19%

 

 

Año 1999

En el Nº 48.375 ¿cuántas centenas hay en total?

  1. 3
  2. 48
  3. 375
  4. 483

Respuestas correctas: 32,48%

Año 2001

En el Nº 5.423 hay en total:

  1. 54 decenas
  2. 23 decenas
  3. 2 decenas
  4. 542 decenas

Respuestas correctas: 55,67%

2 La realidad social de los números decimales

Los números decimales se han convertido en los últimos años en protagonistas de todos los cálculos, hasta el punto que en la práctica desplazan casi completamente a las fracciones, debido a la disponibilidad creciente del uso de calculadoras y ordenadores que hacen las operaciones con ellos.

Sin embargo los niños tienen dificultades para reconocer las partes de los números decimales relacionadas con el todo.

    • ¿Qué significa la parte que está antes y después de la coma? ¿Qué relación existe entre esas partes?
    • ¿Cuándo un número decimal es más grande que otro?
    • ¿La cantidad de cifras decimales aquí también nos permite identificar el tamaño del número?
    • ¿Qué valor tienen los ceros después de la coma?
    • ¿Para qué sirven los números con tantas cifras decimales?
    • ¿Aquí, en este conjunto, también se cumplen las reglas de agrupamiento y canje? ¿Cómo?

Algunas competencias numéricas en relación con los números decimales son:

    • Capacidad para dar significado a los números decimales que representan precios, intereses, porcentajes, descuentos y estimar los resultados.
    • Capacidad para comparar números decimales de distinto orden.
    • Capacidad para medir con distintos instrumentos, para expresar los resultados con una determinada aproximación y estimar los límites aceptables del error.
    • Capacidad para realizar operaciones con números decimales o para interpretar los resultados obtenidos con una calculadora.

Errores

Posibles causas

Actividades de remediación

El reconocimiento de la cantidad de décimos, centésimos.. que hay en un número

Año 1993

En el Nº 2,815 hay en total:

a) 2815 milésimos

b) 815 milésimos

c) 15 milésimos

d) 5 milésimos

Rtas. correctas: 32 %

Año 1997

En el Nº 29,364 hay en total:

a) 6 centésimos

b) 36 centésimos

c) 364 centésimos

d) 2936 centésimos

Rtas. correctas: 30%

Año 1998

En el Nº 28,195 hay en total:

a) 9 centésimos

b) 95 centésimos

c) 195 centésimos

d) 2.819 centésimos

Rtas. correctas: 27%

Año 2002

En el Nº 21,345 hay en total

a) 4 centésimos

b) 45 centésimos

c) 345 centésimos

d) 2.134 centésimos

Rtas. correctas: 25 %

-El fraccionar a la unidad en 10, 100.., partes, y reconocer el significado de cada parte respecto del todo, es el obstáculo que se evidencia en este caso. Una forma de leer al número es:

2 enteros, 815 milésimos.

En 2 enteros hay 2000 milésimos que generalmente no son considerados parte del número.

- También aquí al igual que en los números naturales, se evidencia el error causado por la secuencia de actividades propuestas

Aquí el niño confunde el lugar que ocupa cada cifra del número con el valor de posición de cada cifra.

-Otro obstáculo se presenta en la comparación de números decimales de distinto orden.

Ejemplo:

"diecisiete coma tres" es menor que "diecisiete coma doce

17,3 < 17,12

porque si la parte entera es la misma, comparamos la parte decimal, entonces

3 < 12

-Es necesario seguir trabajando con las reglas del sistema de numeración en cuanto a los agrupamientos y canjes. En este caso se debe hacer referencia también a los fraccionamientos regulares de diez.

-Elaborar listas de situaciones de la vida cotidiana en las que intervengan los números decimales.

-Hacer comparar números con distintos órdenes decimales, intercalar números decimales entre dos enteros, entre dos decimales.

- El uso del dinero, favorece algunas comparaciones, pero es limitado a pesos y centavos

Ejemplo:

$12,5 = $12,50

$ 3,40 > $ 3,35 dado que no se escribe $3,4

-Proponer a los alumnos buscar resultados precisos y enunciar problemas reales en los que se utilizan los decimales.

-Proponer a los alumnos reflexionar sobre las consecuencias de los errores en la precisión de las medidas.

-Provocar debate sobre situaciones en las que la falta de precisión en los cálculos, o en las lecturas de las medidas puedan tener consecuencias graves, etc.

-El trabajar con unidades de medida, ya sea de longitud, capacidad u otras, ayuda a identificar partes decimales de la unidad de medida.

-A veces favorece la representación de los números en la recta numérica

Ejemplo.

-¿Qué peso señala cada letra?

-Las actividades donde deban comparar, ordenar, traducir de un lenguaje a otro, ayudan a interpretar el significado de las cifras decimales

Ejemplo:

a)"Escriban tres números decimales menores que "un centésimo"

b) "Escriban dos números decimales mayores que 0,30"

3 La medida

El problema de la elección de una unidad de medida fue un proceso histórico complejo, no menos complejo es el proceso de su enseñanza, ya que debemos responder a interrogantes tales como ¿qué es una medida en el lenguaje matemático? ¿a qué llamamos magnitud?¿cuándo una magnitud puede medirse?

Una magnitud es una propiedad de los cuerpos que puede ser medida y el resultado de dicha medida expresado mediante una cantidad. La longitud, la superficie, el volumen, la masa, la capacidad, el tiempo, etc. son magnitudes.

La medición es esencialmente una comparación entre un atributo del objeto que se va a medir y el mismo atributo del objeto tomado como unidad.

Errores

Posibles causas

Actividades de remediación

Dificultad que encuentran los alumnos para distinguir entre diferentes magnitudes, por ejemplo decir que el perímetro de una figura es 25 cm2

Énfasis en la enseñanza de conversión de unidades, identificando el aprendizaje de las magnitudes y las medidas con el conocimiento del sistema métrico decimal.

El proceso algorítmico sobre las conversiones se ve acompañado de la aritmetización de la medida (Díaz, 1996)

El énfasis está puesto en calcular el número de veces que la unidad puede ser trasladada sobre el objeto a medir y no por el análisis de las magnitudes puestas en juego

Ingredientes (para seis personas) para preparar Crema de naranja al café

3 cucharaditas de café instantáneo, 120 gr de mermelada de naranja, ½ litro de leche, 100 cc de crema de leche, 3 cucharadas de azúcar, ½ vaso de ron

a. ¿Qué magnitud hay que tener en cuenta para cada ingrediente?

b. ¿Con qué instrumento lo medirías?

c. ¿Se puede medir cada ingrediente de alguna otra forma?¿cómo?

d. ¿Qué se utiliza en mayor cantidad: café o crema? ¿Se puede comparar la cantidad de leche con la cantidad de mermelada? ¿Por qué?

e. ¿Qué ingredientes se pueden comparar? ¿Cómo se puede hacer para decir de cuál hay más cantidad?

En la respuesta a un problema, una regla mide 123,84 kilómetros

Generalmente, se considera que es un atributo del docente determinar la unidad en la que ha de expresarse una medida

¿Qué unidad de longitud utilizarías para medir:

el ancho de la hoja de tu carpeta?

el ancho de una cancha de fútbol?

la distancia de Mendoza a Bs.As.?

la distancia desde tu casa al kiosco más cercano?

el largo de una ameba?

la distancia desde la tierra al sol?

Una figura A que posee mayor perímetro que otra B, tiene también mayor área

Dependencia de las magnitudes superficie y perímetro

Rompecabezas

¿Cuál es el perímetro de la figura expresado en centímetros?

Utilizando todas las piezas, armar otra configuración que tenga mayor perímetro y hallar el perímetro en cm.

Si se utilizan todas las piezas ¿es posible armar otra configuración que tenga mayor área? ¿y menor área?

Construir con todas las piezas la figura que posea el mayor perímetro posible

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Proporcionalidad

El aprendizaje de la proporcionalidad es uno de los temas que conforma la biografía de cualquier estudiante a lo largo de su recorrido escolar, y como ningún otro es fundamental por qué confluyen diversas nociones (medida, escala, porcentaje, mezclas, probabilidad, Thales, funciones lineales, semejanza, etc.).Al ser un conocimiento de uso masivo y cotidiano, aparece como un concepto sencillo. Sin embargo, su aprendizaje escolar genera gran cantidad de dificultades

Errores

Posibles causas

Actividades de remediación

A más ... más

A menos ... menos

Regla de tres simple directa

Éste por éste sobre éste

Panizza y Sadovsky (1991)

El status con que se presenta el método ubica al alumno en la situación de estar aprendiendo un concepto nuevo (el de proporcionalidad), cuando en realidad está aprendiendo un método (que es válido cuando hay proporcionalidad). Todo esto crea una confusión entre concepto y método, y tiene como una de sus consecuencias el aprendizaje de un mecanismo ciego, independiente de los problemas que permite resolver

Generar situaciones que permitan hacer avanzar los procedimientos espontáneos, ya que en ellos los alumnos emplean propiedades de la proporcionalidad aún cuando no puedan definirlas.

Las propiedades de la proporcionalidad, en las que se apoyan los procedimientos, actúan como instrumentos que permiten la resolución de problemas. Un aspecto a trabajar, entonces, es su conocimiento y dominio de manera tal que puedan utilizarse como herramientas.

Por ejemplo

a. En una situación de proporcionalidad, si multiplicamos una de las cantidades por un número, la otra cantidad correspondiente se multiplica por el mismo número. Si en cinco paquetes de figuritas hay 15 figuritas en 20 paquetes hay....

b. En una situación de proporcionalidad directa se cumple que a la suma de dos valores de una de las cantidades, le corresponde la suma de los valores correspondientes de la otra cantidad. Si 7 cuadernos valen $35, y 6 cuadernos valen $30, 13 cuadernos valen ......

c. Darles a los alumnos una factura de teléfono, donde por ejemplo por 420 pulsos utilizados se paga $78,50. Si en la nueva factura se consumen la mitad de los pulsos, ¿se debería pagar la mitad de la factura anterior? Si el consumo se aumenta al triple, ¿se tendría que pagar el triple de la factura original?

d. Ampliar el rompecabezas dado en la actividad anterior, de manera que el lado que mide 8 cm mida 12 cm, 4 cm, 9 cm. Cada alumno agranda o achica una de las piezas y luego vuelve a armarse el rompecabezas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 Fracciones

El sólo hecho de leer la palabra "fracción" crea a menudo inquietud en los docentes, ya sea porque recuerdan su propio aprendizaje –seguramente laborioso- o porque tiene presentes las dificultades que encuentran cada año – a pesar de las modificaciones que ponen en práctica- para enseñar estas nociones.

Este tema también pone en aprietos a la mayoría de los alumnos. Aún en situaciones simples (a partir de lo conocido en el ámbito escolar), se puede tropezar con sorpresas acerca de los conceptos que manejan los sujetos.

Errores

Posibles causas

Actividades de remediación

El obstáculo que representa la enseñanza de los números naturales para poder aprender los números racionales, se ve reforzado por la forma en la que desarrollamos los algoritmos:

La multiplicación: hacemos dos por tres, seis y tres por cinco quince, es decir multiplicamos números naturales.

La suma , el mínimo común múltiplo es quince, dividido cinco por uno ….., es decir operatoria con número naturales.

Cuando es factor de una multiplicación, se convierte automáticamente en dos números distintos, multiplicamos por dos dividimos por tres.

Es decir en la operatoria no se toma a la fracción como un número en sí mismo, sino que se descompone en números naturales.

El trabajo en la escuela pone acento en los mecanismos de resolución, los cuales se transforman en un obstáculo para el concepto de fracción, empobreciendo el sentido de este objeto matemático.

Plantear la discusión grupal sobre los siguientes tópicos:

*La mitad de

*El doble de

*Algunos alumnos de otros cursos dicen que es la mitad de y otros dicen que es al revés. ¿Alguno tiene razón?¿por qué?

*Un alumno que no se acordaba cómo sumar fracciones hizo . ¿qué opinas de éste cálculo?

* ¿Cuánto le falta a para llegar a un entero?

* ¿Cuánto le falta a para llegar a dos enteros?

*¿Es posible que dé como resultado un número menor que uno? ¿y que sea menor que dos?

*Necesito comprar dos kilos y cuarto de café. En la góndola del supermercado sólo quedan paquetes de ½, ¼ y 1 kg. ¿Qué paquetes puedo comprar?

Errores

Posibles causas

Actividades de remediación

Tres cuartos de un poste está pintado de rojo y los 3 metros restantes de azul. ¿Cuál es el tamaño del poste?

Rta:

El poste mide 3,75 m

El trabajo con algoritmos que involucran fracciones no es separado del trabajo en donde la utilización de fracciones cobra sentido.

Centrar la enseñanza de fracciones tomando el algoritmo como punto de partida, olvida completamente la historia de los conocimientos matemáticos en general y de los algoritmos en particular. Éstos representan un lugar de encuentro, ya que son y han sido los procedimientos más económicos que cada cultura fue capaz de construir en su tiempo. En tanto más económicos, necesariamente son posteriores a aquellos que han sido dejados de lado.

Uno de los aspectos más conflictivos del abordaje didáctico de este tema se debe a la cantidad de significados que encierra su utilización, por ejemplo se les enseña a los alumnos el significado de fracción como parte de un todo, es decir 2/3 de una torta es partir la torta en tres y tomar dos partes, pero no es la interpretación como operador, ya que ¾ de 12 caramelos, implica multiplicar a 12 por tres y eso dividirlo en cuatro partes.

Tiras de papel:

Se divide a la clase en equipos de 4 o 5 alumnos. Cada equipo juega en pareja con otro equipo. A cada uno de los equipos se le entrega una tira de papel y otra de cartulina, que representa la unidad de medida.

La longitud de las tiras de papel debe ser diferente en cada grupo (9 cm, 3 cm, 4 cm, etc.), mientras que la unidad de medida debe ser la misma en todo el curso (12 cm).

El objetivo de cada equipo es escribir y enviar un mensaje, en el que no puede haber dibujos, para que el equipo receptor pueda cortar una tira de papel de la misma longitud que la del equipo emisor. Para encontrar el largo no se puede usar la regla, sólo la tira de cartulina que representa la unidad de medida.

Las tiras de papel que se entregaron a cada equipo tienen una longitud tal que no coinciden con una unidad de medida entera, por lo que será necesario utilizar fracciones.

Mientras sea necesario encontrar medios, cuartos y octavos, no debería haber muchos problemas, las dificultades mayores aparecerán cuando haya que dividir la unidad en quintos, séptimos, etc. Una vez que los mensajes son recibidos y las nuevas tiras recortadas, se comparan las tiras de cada pareja de grupo emisor y receptor. Si no coinciden se analizan los mensajes para ver por qué no fueron comprendidos.

 

 

 

6 Clasificación

Clasificar en conjuntos disjuntos en lugar de clasificar por inclusión, es usualmente una fuente de error, por ejemplo en:
  • el conjunto de los triángulos ( considerar por separado- sin características para compartir- los triángulos equiláteros, isósceles o rectángulos).
  • el conjunto de los cuadriláteros (considerar como cuadriláteros distintos a los rectángulos, cuadrados, rombos y paralelogramos).
  • el conjunto de los números reales (considerar por separado – sin relación- a los números naturales, enteros, decimales, racionales, reales, etc.).

Errores

Posibles causas

Actividades de remediación

Cuadrado, pero no rombo

 

 

5 no es un número decimal

 

Triángulo rectángulo, pero no isósceles

En la vida cotidiana clasificamos, en general, por partición. (Por ejemplo: si necesitamos clasificar las facturas hacemos conjuntos disjuntos: separamos las facturas de gas, electricidad, agua, etc. El conjunto de las facturas queda particionado). Esta clasificación obstaculiza la clasificación por inclusión usada en todas las ciencias. En Matemática, por ejemplo, los alumnos tienen dificultad para:

  • imaginar un triángulo a la vez rectángulo e isósceles.
  • considerar que el cuadrado es un rectángulo;
  • concebir a los naturales como números decimales positivos.

Relacionar y Clasificar son dos verbos claves en la enseñanza de la Geometría. Para poder llegar a conjugar correctamente estos verbos deben plantearse actividades como:

  • disponer de una gran diversidad de elementos ( por ejemplo, modelos, figuras, números, etc.) para relacionar o clasificar y hacer observaciones diversificadas sobre los mismos.
  • Plantear criterios diversos de forma que cada uno lleve a una relación o clasificación.
  • Contrastar cada elemento para ver si verifica o no el criterio dado.
  • Distinguir criterios que permiten clasificar de los que no.
  • Analizar como criterios aparentemente distintos dan lugar a la misma clasificación o relación.
  • Dada una clasificación o relación deducir posibles criterios que la han generado.

Así por ejemplo, es necesario que los alumnos además de clasificar a los cuadriláteros a partir de los lados, los ángulos o de ambos a la vez, los clasifiquen a partir de las relaciones que se pueden establecer entre las diagonales.

A partir de varillas que representan las diagonales, el docente propone a los alumnos que investiguen qué cuadriláteros se forman considerando las características del "cruce" de las diagonales: el ángulo que forman, las medidas y el punto donde se cortan. Las diagonales pueden ser congruentes ( como en un cuadrado) o no ( como en un romboide). Se pueden cortar perpendicularmente ( cuadrado) o no ( rectángulo). Se pueden cortar en el punto medio de ambas (cuadrado), en el punto medio de una sola de ellas ( romboide), o en cualquiera de sus puntos ( trapecio)

 

CONSTRUCCIÓN DE SITUACIONES DE APRENDIZAJE

  1. Algunos aspectos para tener en cuenta

Como docentes, debemos introducirnos en el complejo proceso de elaborar situaciones para el aprendizaje, que respondan a ciertos criterios. No se trata de pensar en "recetas", sino en determinar grandes líneas de reflexión que deben acompañar a la definición de todo proyecto de enseñanza y que también pueden servir de guía para analizar situaciones ya construidas.

En general, estos aspectos son considerados por nosotros de manera implícita, no siendo necesario en nuestro actuar cotidiano el explicitarlos.

Lo que intentaremos aquí es reflexionar sobre ellos, en pos de mejorar nuestra tarea.

Teniendo en cuenta esto, deberemos:

  1. Precisar las opciones que se deben hacer en relación al campo de conocimientos considerado.
  2. Prever diferentes etapas en el aprendizaje
  3. Asegurar el dominio de herramientas técnicas anteriores al saber que es objeto de estudio.
  4. Analizar las producciones de los alumnos.
  5. Prever situaciones modificables.
  6. Identificar variables didácticas.
  7. Poner en práctica.

Desarrollemos cada uno de estos aspectos.

  • Las opciones que se deben hacer en relación al campo de conocimientos considerado.
  • Cuando se ha fijado un objetivo de aprendizaje (tal noción, tal procedimiento, tal técnica) es importante en primera instancia, establecer los límites del mismo. Para ello, habrá que analizar los programas de estudio y, de manera especial

    • los aspectos del concepto que se van a tratar;
    • los lazos que se establecerán con otras nociones, tanto anteriores como posteriores;
    • cómo insertar la noción en una secuenciación anual o plurianual;
    • cuáles aspectos se podrán evaluar.

    El análisis de los programas de contenidos se debe acompañar de una reflexión didáctica que responda a las preguntas:

    1- ¿Cuáles son los problemas para los que la noción considerada va a funcionar como herramienta idónea de resolución?

    2- De los problemas anteriores, ¿cuáles son accesibles a los alumnos?

    3- ¿Cuáles son los diferentes contextos de utilización de la noción en cuestión?

    4- ¿Cuáles son los diferentes recursos existentes para abordar la noción?

    5- ¿Qué grado de dominio y de disponibilidad, del saber y el saber-hacer, se quieren lograr a corto, medio o largo plazo por parte de los alumnos?.

  • Diferentes etapas en el aprendizaje, que se deben prever.
    • Aproximación o apropiación de la situación.

    El objetivo es puntualizar los conocimientos disponibles y/o actualizar

    las concepciones iniciales de los alumnos. Es en esta etapa cuando se

    descubren las dificultades vinculadas a la comprensión de las consignas

    o a la utilización del material.

      • Aprendizaje propiamente dicho, donde los nuevos conocimientos son construidos y reconocidos como medios eficaces de resolución, como respuestas adaptadas a un problema, que los conocimientos antiguos no permitían resolver o lo hacían de manera costosa dando origen a errores.
      • Institucionalización, en la que las nuevas adquisiciones serán formuladas, nombradas, reconocidas como saberes adquiridos y percibidas como eficaces para resolver una determinada clase de problemas.
      • Familiarización, cuyo objetivo es que cada alumno se apropie de la nueva herramienta, la haga funcionar en la resolución de distintas situaciones, contextualizadas o no.
      • Reinversión, donde se apunta a la extensión del sentido y la validez de los conocimientos recientemente construidos.
    1. Asegurar el dominio de herramientas técnicas, anteriores al saber objeto de estudio.
    2. Los conocimientos nuevos se construyen apoyados en otros anteriores. Si sostenemos dicha afirmación, es indispensable identificar el grado de dominio de aquellos conocimientos necesarios para abordar una nueva situación y, eventualmente, evaluar la utilidad de proponer situaciones específicas de reactivación de dichos saberes.

    3. Analizar las producciones de los alumnos.
    4. Los errores sistemáticos que cometen nuestros alumnos deben ser tenidos en cuenta al construir secuencia de aprendizaje. Debemos analizar y, en ocasiones, listar los errores corrientemente cometidos por los alumnos, como así también anticipar posibles procedimientos que puedan aparecer. Conocer los obstáculos que los alumnos deberán franquear, también nos permitirá seleccionar situaciones posteriores.

      C. Prever situaciones modificables, identificando variables didácticas.
      Debemos concebir situaciones de manera que puedan ser modificadas, gracias a la introducción de obstáculos que solo puedan ser franqueados usando un nuevo conocimiento.

    Cuando los alumnos enfrentan una situación dada ponen en juego aquellos conocimientos ya adquiridos. Para que la situación pueda transformar el sistema de reglas y referencias con las cuales el alumno trabaja, debemos intervenir modificando algunos elementos de la situación. Estos elementos modificable por nuestro accionar reciben el nombre de variables didácticas.

      • Variables ligadas al contenido

    - rango numérico en el cual trabajamos, ya que no es lo mismo trabajar con números "pequeños" o "grandes", con enteros o decimales;

    - tipo de tarea solicitada, por ejemplo: interpretación de gráficos o su confección; búsqueda de datos o un resultado; ya que implican diferentes desafíos;

    - representación gráfica o algebraica;

    - forma o soporte de una figura y su posición en relación con el plano utilizado;

    - registro formal o coloquial, etc.

    Variables ligadas al desarrollo de la situación:

    - forma de trabajo, individual o grupal;
    - pedido de formulación por escrito de procedimientos y resultados o no;
    - indicaciones sobre como realizar la tarea, condiciones sobre el tiempo permitido, el
    tipo de respuesta, las restricciones sobre el uso de tal o cual material; etc.
    A. Puesta en práctica.
    Por último, no podemos dejar de mencionar aquellos aspectos que hacen a la situación misma y que en ocasiones juegan como variables didácticas:

    - las consignas,
    - el tipo de material a utilizar,
    - el rol que vamos a jugar como docentes en la situación propuesta,

    - la forma en que van a trabajar los alumnos, qué tipo de interacciones vamos a proponer, cómo realizaremos la institucionalización del saber en cuestión.

    1. A modo de ejemplo proponemos: El tesoro de Jack el Cruel

    Qué necesitas: unos cuantos cubos apilables, lápiz y papel.


    ¡El Pirata Jack y el resto de su tripulación tenían que trabajar a toda prisa! Habían atacado un barco del rey y habían robado nada menos que 80 cofres en forma de cubo. Ahora tenían que enterrarlos para que nadie los encontrara, hasta que pudieran sacarlos y repartir el botín tranquilamente. Pero tenían un problema: la Isla del Tesoro estaba llena de palmeras, y era muy difícil encontrar un sitio donde enterrarlos todos juntos. Por fin encontraron un claro.
    Excavaron un cuadrado en el que cabían 7 cofres de largo por 7 de ancho. ¿Cuántos cofres podrían meter en ese hoyo? .............
    Pero el hoyo no era lo bastante grande, así que excavaron más hondo, para que cupieran en él 2 capas de cofres.
    ¡Magnífico! dijo Jack, pero en ese momento la arena de los lados se derrumbó. Ahora sólo cabían 6 cofres de ancho por 6 de largo y 2 de profundidad.
    ¿Cuántos cofres podían meter ahora en el hoyo? ..........
    Así fueron excavando cada vez más hondo, pero cada vez que excavaban lo suficiente para poner una capa más, la arena se les derrumbaba, y cada vez que se les derrumbaba la arena, en el hoyo cabía un cofre menos de ancho y otro de largo.
    ¿Podrían tener alguna vez un hoyo lo suficientemente profundo como para meter dentro los 80 cofres? ........
    ¿Cuál es el máximo de cofres que podrán meter?

    Para finalizar
    Los años de trabajo docente nos sugieren que cualquier esfuerzo dirigido a mejorar la enseñanza de la matemática, pasa en gran parte por mejorar nuestra comprensión de los procesos de aprendizaje de nuestros alumnos; por nuestro propio conocimiento de la matemática y por el análisis, control y evaluación de nuestras estrategias de enseñanza.
    Hemos tratado de recoger algunos aportes que pueden resultar útiles en nuestra tarea. No podemos dejar de mencionar que dichos aportes son parciales: por los autores consultados, por los aspectos analizados tanto del proceso de aprendizaje como del proceso de enseñanza, por las temáticas abordadas (funciones), por los fenómenos considerados en la forma didáctica y por los conceptos teórico incluidos.
    El dinamismo de los temas abordados; la permanente renovación de la teoría didáctica con el surgimiento de nuevas investigaciones; los procesos de actualización y transformación curricular en los que nos encontramos inmersos; las dificultades concretas detectadas entre los colegas y alumnos de todo el país y los aportes de los docentes que participen de estos talleres nos comprometen a elaborar propuestas cada vez más actualizadas, renovadas y adecuadas a los tiempos pedagógicos que vivimos.

    El desafío es siempre: lograr que para nuestros alumnos aprender matemática pueda ser una aventura amena, apasionante y con "sentido"
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